대수적으로 닫힌 체
1. 개요
1. 개요
대수적으로 닫힌 체는 추상대수학의 체론에서 중요한 개념이다. 이는 주어진 체 위에서 정의된 모든 다항식이 그 체 안에서 적어도 하나의 근을 가질 때를 가리킨다. 즉, 체 K에 대해, 다항식환 K[t]의 모든 원소 p(t)에 대해 p(t₀)=0을 만족하는 t₀ ∈ K가 항상 존재하는 체를 말한다.
이 정의는 여러 동치 조건으로 설명된다. K[t]의 모든 기약 다항식이 일차식이라는 것, 체 K의 대수적 확대가 K 자신밖에 존재하지 않는다는 것, 그리고 Kⁿ에서 Kⁿ으로 가는 선형 변환이 항상 고윳값을 가진다는 것 등이 모두 대수적으로 닫힌 체의 특징이다. 이러한 체의 대표적인 예로는 복소수체가 있으며, 이는 대수학의 기본 정리에 의해 보장된다.
주어진 체 K를 포함하는 가장 작은 대수적으로 닫힌 체를 K의 대수적 폐포라고 하며, 기호로는 K̅로 표기한다. 대수적 폐포는 항상 존재하며, 모든 대수적 폐포는 서로 동형이지만, 그 동형 사상은 표준적이지 않다. 즉, 대수적 폐포를 구성하는 방법은 유일하지 않다.
2. 정의
2. 정의
대수적으로 닫힌 체는 체 K가 다음 동치 조건들 중 하나를 만족할 때를 말한다. 첫째, 다항식환 K[t]의 모든 다항식이 K 안에 적어도 하나의 근을 가진다. 둘째, K[t]의 모든 기약 다항식이 일차식이다. 셋째, K의 모든 대수적 확대가 K 자신밖에 존재하지 않는다. 넷째, Kⁿ에서 Kⁿ으로 가는 모든 선형 변환이 적어도 하나의 고윳값을 가진다.
이 개념과 밀접하게 연관된 것이 대수적 폐포이다. 체 K의 대수적 폐포는 K를 포함하는, 대수적으로 닫힌 대수적 확대를 의미하며, 기호로는 K̅로 나타낸다. 대수적 폐포는 항상 존재하지만, 그 구성은 표준적이지 않다. 즉, 주어진 체의 모든 대수적 폐포들은 서로 동형이지만, 그 동형 사상은 유일하게 정해지지 않는다.
3. 성질
3. 성질
대수적으로 닫힌 체는 여러 동치 조건을 통해 그 성질을 특징짓는다. 가장 기본적인 정의는 다항식환 K[t]의 모든 다항식이 체 K 내에서 적어도 하나의 근을 갖는 것이다. 이는 K[t]의 모든 다항식이 일차식들의 곱으로 완전히 인수분해 가능하다는 것과 동치이며, 이로부터 K[t]의 모든 기약 다항식이 일차식이라는 결론을 얻는다. 또한, 체 K의 어떠한 대수적 확대도 K 자신밖에 존재하지 않는다는 성질도 동일한 개념을 설명한다.
대수적으로 닫힌 체의 중요한 성질 중 하나는 선형 변환과의 관계이다. 체 K 위의 벡터 공간 Kⁿ에서 Kⁿ으로 가는 임의의 선형 변환은 항상 적어도 하나의 고윳값을 가진다. 이는 해당 선형 변환의 특성 다항식이 대수적으로 닫힌 체 위에서는 반드시 근을 가지기 때문이다. 이러한 성질은 행렬의 조르당 표준형 존재와 같은 선형대수학의 핵심 정리들을 뒷받침한다.
또한, 대수적으로 닫힌 체는 무한 집합이다. 만약 유한한 체가 대수적으로 닫혀 있다고 가정하면, 그 체의 모든 원소 a₁, a₂, ..., aₙ에 대해 다항식 (x - a₁)(x - a₂)...(x - aₙ) + 1은 어떤 원소도 근으로 갖지 않게 되어 모순이 발생하기 때문이다. 따라서 모든 대수적으로 닫힌 체, 예를 들어 복소수체나 유한체의 대수적 폐포는 무한히 많은 원소를 갖는다.
대수적으로 닫힌 체의 또 다른 특징은 절대 초월 차수와 집합의 크기 사이의 관계이다. 절대 초월 차수가 기수 κ인 대수적으로 닫힌 체 K의 크기는 |K| = max{κ, ℵ₀}이다. 이는 비가산 대수적으로 닫힌 체들이 그 집합의 크기와 체의 표수에 따라 분류될 수 있음을 의미한다.
4. 대수적 폐포
4. 대수적 폐포
4.1. 존재성
4.1. 존재성
임의의 체는 항상 대수적 폐포를 가진다. 즉, 주어진 체 K를 포함하는 대수적 확대이면서 동시에 대수적으로 닫힌 체인 체 K̅가 항상 존재한다. 이 존재성은 초른 보조정리를 이용하거나, 모든 기약 다항식에 대한 몫환 [[K[x]/(p(x))]]들의 텐서곱을 구성한 뒤 그 극대 아이디얼에 대한 몫환을 취하는 방법 등으로 증명할 수 있다.
구체적으로, 초른 보조정리를 이용한 증명은 다음과 같은 아이디어를 따른다. 충분히 큰 집합 X를 고정하고, K를 부분체로 포함하며 X의 부분집합인 모든 대수적 확대들의 집합을 생각한다. 이 집합에 포함 관계를 통해 부분 순서 집합 구조를 주면, 초른 보조정리에 의해 극대 원소 K̅가 존재한다. 이 극대 원소가 바로 K의 대수적 폐포임을 보일 수 있다. 다른 한편, 모든 기약 다항식 p(x)에 대해 체의 확대 [[K[x]/(p(x))]]를 만들고, 이들의 무한 텐서곱을 구성한 뒤, 그 극대 아이디얼로 나누어 체를 만드는 방법도 있다. 이렇게 구성된 체는 K의 대수적 확대이며, K 위의 모든 다항식이 근을 가지므로 대수적으로 닫혀 있다.
이러한 구성법은 선택 공리에 의존한다. 또한, 대수적 폐포의 존재성은 대수적 확대가 주어진 체 위의 모든 다항식의 근을 계속 추가해 나감으로써, 그 극한으로 얻을 수 있음을 보여준다.
4.2. 유일성
4.2. 유일성
주어진 체의 대수적 폐포는 존재성과 더불어 중요한 유일성의 성질을 가진다. 즉, 어떤 체 K에 대해 이를 포함하는 대수적 폐포 K̅가 존재한다면, K를 포함하는 다른 어떤 대수적으로 닫힌 체 L이 있다 하더라도, K̅와 L은 K 위에서 서로 동형이다. 이는 K̅가 K의 모든 대수적 확대를 포괄하는 가장 작은 대수적으로 닫힌 체라는 의미에서 유일하다고 말할 수 있다.
그러나 이 동형은 일반적으로 표준적이지 않다. 즉, K̅에서 L로 가는 K-동형 사상은 존재하지만, 그 사상이 자연스럽게 하나로 정해지지는 않는다. 이는 대수적 폐포가 체의 범주에서 함자를 이루지 않는 이유이기도 하다. 이러한 유일성은 초른 보조정리를 이용한 확장 사상의 극대화 과정을 통해 증명된다.
5. 예시
5. 예시
5.1. 표수 0
5.1. 표수 0
표수가 0인 체의 가장 대표적인 예는 복소수 체이다. 대수학의 기본 정리에 따르면, 복소수 계수를 갖는 모든 다항식은 복소수 범위 내에서 적어도 하나의 근을 가진다. 이는 복소수 체가 대수적으로 닫혀 있음을 의미하며, 따라서 복소수 체는 표수 0인 대수적으로 닫힌 체의 핵심 예시이다.
표수 0인 다른 체들은 일반적으로 대수적으로 닫혀 있지 않다. 예를 들어, 유리수 체나 실수 체는 대수적으로 닫힌 체가 아니다. 실수 체 위의 다항식 x² + 1 = 0은 실수 근을 갖지 않는다. 그러나 이러한 체들도 각자의 대수적 폐포를 갖는다. 실수 체의 대수적 폐포는 복소수 체이며, 유리수 체의 대수적 폐포는 대수적 수로 이루어진 체이다.
표수 0인 대수적으로 닫힌 체들은 그 초월 차수에 따라 분류된다. 예를 들어, 복소수 체는 초월 차수가 2^(ℵ₀)인 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이다. 이는 복소수 체가 유리수 체에 일부 초월수를 추가한 뒤 대수적 폐포를 취한 것과 동형임을 의미한다.
5.2. 양의 표수
5.2. 양의 표수
양의 표수를 갖는 체의 대표적인 예시는 유한체이다. 모든 유한체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 예를 들어, 원소가 a1, a2, ..., an인 유한체 F에서, 다항식 (x - a1)(x - a2)...(x - an) + 1은 F 안에서 어떠한 근도 갖지 않는다. 이는 유한체의 모든 원소를 근으로 갖는 다항식에 상수항 1을 더하면 더 이상 그 체 안에서 근을 찾을 수 없기 때문이다.
그러나 주어진 표수 p(소수)에 대해, 그 표수를 갖는 모든 유한체의 합집합은 대수적으로 닫힌 체를 이룬다. 구체적으로, 소수 p에 대한 유한체 Fp의 대수적 폐포는 Fp의 모든 유한 확대체들의 귀납적 극한으로 구성된다. 이를 Fp의 대수적 폐포라 부르며, Fp 위의 모든 대수적 수들의 체로 볼 수 있다.
이 대수적 폐포는 가산 무한 집합이며, Fp의 모든 유한 차원 확대체를 부분체로 포함한다. 이 체는 양의 표수에서 대수적으로 닫힌 체의 가장 기본적인 예시이다. 표수가 0인 경우의 복소수체와 유사하게, 양의 표수 세계에서도 모든 다항식의 근을 포함하는 '완비된' 체의 역할을 한다.
6. 분류
6. 분류
두 대수적으로 닫힌 체가 서로 동형인지 여부는 그 체의 표수와 절대 초월 차수에 의해 완전히 결정된다. 구체적으로, 두 대수적으로 닫힌 체 K와 K'에 대해 다음 두 조건은 서로 동치이다. 첫째, K와 K'이 체로서 서로 동형이다. 둘째, K와 K'이 같은 표수를 가지며, 또한 같은 절대 초월 차수를 갖는다. 여기서 절대 초월 차수는 체에서 대수적으로 독립인 부분집합의 최대 크기를 의미한다.
이 결과에 따라, 모든 대수적으로 닫힌 체는 표수 p와 초월 차수 κ라는 두 개의 불변량으로 완전히 분류된다. 예를 들어, 표수가 0이고 초월 차수가 2^ℵ₀인 대수적으로 닫힌 체는 모두 서로 동형이며, 복소수체가 그 대표적인 예이다. 이는 C ≅ Q({x_i}_{i ∈ 2^ℵ₀})의 대수적 폐포와 동형임을 의미한다.
반면, 같은 표수를 가져도 초월 차수가 다르면 두 체는 동형이 아니다. 예를 들어, 모든 유한체의 대수적 폐포인 F̅_p는 초월 차수가 0이다. 따라서 표수 p > 0이고 초월 차수가 0인 대수적으로 닫힌 체는 모두 F̅_p와 동형이다. 이 분류는 대수적으로 닫힌 체의 구조가 본질적으로 그 체가 포함하는 초월적 원소들의 수와 표수에 의해 결정됨을 보여준다.
